Как доказать теорему Пифагора?

Доказательство теоремы Пифагора. Теорема эта известна с давних древних времён. И, справедливости ради, стоит сказать, что не Пифагор открыл, выявил и обнаружил данную геометрическую связь в прямоугольном треугольнике. Это и понятно из простого здравого смысла.

Ещё за долго до рождения Пифагора были построены пирамиды в Египте, и не только там, но и в Китае и многих других местах земли. И, разумеется, сеё факт был известен всем строителям и землемерам древности. Заслуга Пифагора в том, что он её задокументировал и далее передал потомкам.

Доказательство теоремы Пифагора

Теорема Пифагора: формула и доказательство

 

В той статье мы с вами рассмотрим два доказательства: одно из них даётся в школьном курсе математики, другое показывает геометрическое – показывается соответствие площадей квадратов построенных на сторонах треугольника (с ним учеников знакомят далеко не везде). Вы наглядно без лишнего формализма увидите почему квадрат большей стороны прямоугольного треугольника равен сумме квадратов двух других его сторон.

Теорема Пифагора: квадрат гипотенузы в прямоугольном треугольнике равен сумме квадратов катетов.

Доказательство первое.

Представим прямоугольный треугольник следующим образом — построим квадрат, в него впишем (произвольно) ещё один квадрат так что его вершины будут лежать на сторонах первого квадрата.

Получим четыре равных прямоугольных треугольника. Обозначим катеты треугольников соответственно как a и b:Теорема Пифагора: формула и доказательство

Выразим площадь большего квадрата:

Теорема Пифагора: формула и доказательство Также она равна сумме четырёх треугольников и квадрата со стороной с:

Теорема Пифагора: формула и доказательство Можем записать:Теорема Пифагора: формула и доказательство

Теорема доказана.

Второе доказательство.

Так как «квадрат стороны треугольника» геометрически это квадрат сторона которого равна стороне указанного треугольника, то построим квадраты на катетах и гипотенузе треугольника: Нам нужно показать, что площадь квадрата построенного на гипотенузе равна сумме площадей квадратов построенных на катетах.

Теорема Пифагора: формула и доказательство

Выполним дополнительные построения. Каким образом? Сначала строим квадрат симметричный квадрату построенному на большем катете (он показан серым цветом), а затем остальные элементы:

Читайте также:  Что такое ряд активности металлов?

Теорема Пифагора: формула и доказательство

Определим равные элементы. Для наглядности используем цвета:

Теорема Пифагора: формула и доказательство

*Треугольник «3+8» мы разделили таким образом, что сторона четырёхугольника «8» равна стороне квадрата построенного на малом катете.

Теперь внимание!

«Уложим» квадрат «1» на квадрат построенный на гипотенузе. Площадь квадрата «1» равна площади квадрата «10+9+2». Фигура «2» заняла часть квадрата построенного на гипотенузе. Треугольник «10» равен треугольнику «4» (признак равенства – по гипотенузе и острому углу). Треугольник «9» равен треугольнику «3» (по катету и острому углу).

Итак! Квадрат «1» мы уместили.

Источник: https://matematikalegko.ru/formuli/dokazatelstvo-teoremy-pifagora.html

Теорема Пифагора доказательство

Обращаясь к истории, теорема Пифагора хоть и носит название Пифагора, но открыл ее не он. Так как особые свойства прямоугольного прямоугольника ученые начали изучать намного раньше его. Тем не менее есть два утверждения. Первое гласит о том что Пифагор доказал теорему.

Второе, соответственно что не он. На данным момент не проверить какое из этих мнений верно, но к сожалению, если и было доказательство Пифагора, то оно не дожило до нашего времени. Так же есть мнение что доказательство сделанное Евклидом, было сделано Пифагором, а Евклид его обнародовал.

Несомненно в Египте во времена правления фараонов, возникали вопросы с прямоугольным треугольником. В истории Вавилона он так же участвовал. Из чего можно сделать вывод, что данная теорема, вызывала интерес с древних времен. На сегодняшний день существует 367 различных доказательств.

Чем не может похвастать ни какая другая теорема.

Заметка: Если Вы ищите мебель для лаборатории или просто хотите приобрести вытяжной шкаф (http://www.labmet.ru/shkafy-vytyazhnye.html). Перейдите по данной ссылке и купите все что нужно. Качество гарантированно!

Разберем основные доказательства.

1. Теорема Пифагора доказательство.

Считается что это легкий способ. В нем применяются правильные треугольники.

Читайте также:  Какое определение второго закона Ньютона?

Теорема Пифагора: формула и доказательство
Теорема Пифагора: формула и доказательство
Если взять равнобедренный прямоугольный треугольник АВС, от гипотенузы АС мы сможем построить квадрат, в котором находятся 4 аналогичных треугольника. С помощью катета АВ и ВС строятся квадраты, содержащие в себе еще по два таких же треугольника.

2. Теорема Пифагора доказательство.

Здесь сочетается как алгебра так и геометрия. Изображаем прямоугольный треугольник abc. И 2 квадрата равных двум длинам катетов а+b. Затем сделаем построение, как на рисунках 2, 3. Вследствие чего получим два квадрата со сторонами а и b.

Второй квадрат содержит 4 треугольника, образуя таким образом квадрат равный гипотенузе c. Интересно что общая площадь квадратов на рис. 2, 3 равная друг другу.
Обобщая все в формулу мы получим. а2+b2 = (а+b)2 — 4 * 1/2 * а * b. Раскрыв скобки получим а2+b2= а2+b2. Площадь рис. 3 вычисляем как S=c2 или а2+b2=с2.ч.т.д.

Теорема Пифагора: формула и доказательство

3. Теорема Пифагора доказательство.

Доказательство найдено в 12 вв, в древней индии.

Теорема Пифагора: формула и доказательство
Построим в квадрате 4 треугольника (прямоугольных). Гипотенузой будет сторона с, катетами в треугольнике а и b. Вычисляем площади квадратов большой- S=c2, и внутренний (а-b)2 2 +4 * 1/2 * а * b. Из чего вывод, что с2= (а-b)2 2+ 4 * 1/2 * а * b, а следовательно, с2= а2+b2.

Источник: https://reshit.ru/Teorema-Pifagora-dokazatelstvo

Ссылка на основную публикацию
Adblock
detector