Формулы приведения! Они относятся к разделу «тригонометрия» в математике. Суть их заключается в приведении тригонометрических функций углов к более «простому» виду.
О важности их знания написать можно много. Этих формул аж 32 штуки!
Формулы приведения. Как запомнить?
Не пугайтесь, учить их не надо, как и многие другие формулы в курсе математики. Лишней информацией голову забивать не нужно, необходимо запоминать «ключики» или законы, и вспомнить или вывести нужную формулу проблемой не будет. Кстати, когда я пишу в статьях «… нужно выучить!!!» – это значит, что действительно, это необходимо именно выучить.
Если вы с формулами приведения не знакомы, то простота их вывода вас приятно удивит – есть «закон», при помощи которого это легко сделать. И любую из 32 формул вы напишите за 5 секунд.
Перечислю лишь некоторые задачи, которые будут на ЕГЭ по математике, где без знания этих формул есть большая вероятность потерпеть фиаско в решении. Например:
- задачи на решение прямоугольного треугольника, где речь идёт о внешнем угле, да и задачах на внутренние углы некоторые из этих формул тоже необходимы.
- задачи на вычисление значений тригонометрических выражений; преобразования числовых тригонометрических выражений; преобразования буквенных тригонометрических выражений.
- задачи на касательную и геометрический смысл касательной, требуется формула приведения для тангенса, а также другие задачи.
- стереометрические задачи, по ходу решения не редко требуется определить синус или косинус угла, который лежит в пределах от 90 до 180 градусов.
И это лишь те моменты, которые касаются ЕГЭ. А в самом курсе алгебры есть множество задач, при решении которых, без знания формул приведения просто не обойтись.
Так что же к чему приводится и как оговоренные формулы упрощают для нас решение задач?
Например, вам нужно определить синус, косинус, тангенс или котангенс любого угла от 0 до 450 градусов
Формулы приведения:
Угол альфа лежит пределах от 0 до 90 градусов.
Итак, необходимо уяснить «закон», который здесь работает:
- Определите знак функции в соответствующей четверти.
Напомню их:
Запомните следующее:
- Функция изменяется на кофункцию
- Функция на кофункцию не изменяется
Что означает понятие — функция изменяется на кофункцию?
Ответ: синус меняется на косинус или наоборот, тангенс на котангенс или наоборот.
Теперь по представленному закону запишем несколько формул приведения самостоятельно:
Данный угол лежит в третьей четверти, косинус в третьей четверти отрицателен. Функцию на кофункцию не меняем, так как у нас 180 градусов, значит:
Угол лежит в третьей четверти, косинус в третьей четверти отрицателен. Меняем функцию на кофункцию, так как у нас 270 градусов.- Угол лежит в первой четверти, синус в первой четверти положителен. Не меняем функцию на кофункцию, так как у нас 360 градусов.
- Угол лежит во второй четверти, синус во второй четверти положителен. Не меняем функцию на кофункцию, так как у нас 180 градусов.
Проработайте мысленно или письменно каждую формулу, и вы убедитесь, что ничего сложного нет.
В статье на решение прямоугольного треугольника был отмечен такой факт – синус одного острого угла в прямоугольном треугольнике равен косинусу другого острого угла в нём.
И наоборот – косинус одного острого угла в прямоугольном треугольнике равен синусу другого острого угла в нём. Вот вам и подтверждение этого с помощью формул приведения.
Конечно, определить значения углов можно и без формул приведения, по тригонометрической окружности. И если вы умеете это делать, то очень хорошо. Но поняв, как работают формулы приведения, вы сможете делать это очень быстро.
В дальнейшем, применяя свойство периодичности, четности (нечётности) вы без труда определите значение любого угла: 10500, -7500, 23700 и любые другие. Статья об этом в будущем обязательно будет, не пропустите!
Когда в решениях задач буду использовать формулы приведения, то обязательно буду ссылаться на эту статью, чтобы вы всегда смогли освежить в памяти представленную выше теорию. На этом всё. Надеюсь, материал был вам полезен.
Источник: https://matematikalegko.ru/formuli/formuli-privedenia.html
Формулы приведения
Рассмотрим рисунок 1.
На этом рисунке
Следовательно, справедливы формулы:
  |
(1) |
Откуда вытекают формулы:
 |
(2) |
Формулы (1), (2) называют формулами приведения.
Таблица формул приведения
В целом формулы приведения удобно представить в виде следующей таблицы.
| Аргумент | Формула приведения | ||
| синус | косинус | тангенс | котангенс |
| – α | – sin α | cos α | |
| cos α | sin α | ||
| cos α | – sin α | ||
| π – α | sin α | – cos α | |
| π + α | – sin α | – cos α | |
| – cos α | – sin α | ||
| – cos α | sin α | ||
| 2π – α | – sin α | cos α | |
| 2π + α | sin α | cos α |
| sin (– α) = – sin α; |
| cos (– α) = cos α; |
| sin (π – α) = sin α; |
| cos (π – α) = – cos α; |
| sin (π + α) = – sin α |
| cos (π + α) = – cos α |
| sin (2π – α) = – sin α |
| cos (2π – α) = cos α |
| sin (2π + α) = sin α |
| cos (2π + α) = cos α |
Источник: https://www.resolventa.ru/spr/trig/reduction.htm
Формулы приведения в тригонометрии
В тригонометрии, вообще, очень много разных формул. Их количество ни в коем случае не должно пугать школьника. Для того, чтобы успешно сдать ЕГЭ нужно не зубрить наизусть основные тригонометрические тождества, а понять их суть. Для многих формул разработаны даже специальные мнемонические правила, чтобы их можно было проще запомнить.
Один из самых сложных и запутанных, на взгляд ученика средней школы, раздел тригонометрических выражений – это формулы приведения. Для чего же они нужны? Отбросив вступление, скажем сразу — формулы приведения позволяют заменить функцию на кофункцию. Например, если в задании стоит синус α, его можно заменить на косинус α, и наоборот.
Функция Кофункция
| sin α | cos α |
| cos α | sin α |
| tg α | ctg α |
| ctg α | tg α |
Формулы приведения
Так в каких же случаях необходимо применять формул приведения?! Все очень просто, с их помощью, можно заменить не только функцию, но и аргумент. Например, косинус тупого угла можно заменить на косинус или синус острого угла. А теперь, внимательно рассмотрим список. Нетрудно заметить, что в нем присутствуют некие закономерности.
Итак, для каждой функции существует 8 формул приведения: 2 с аргументами (π±α), 2 для угла (2π±α), по две на (π/2±α) и (3π/2±α).
Если проанализировать перечень, то можно убедиться, что для первых 4-х аргументов смена функции на кофункцию не происходит. Попробуем переписать аргументы выражений не в радианах, а в градусах:
Загадка решена — каждая пара формул описывает поведение функции в той или иной четверти тригонометрической окружности.
Осталось вывести мнемонические правила для формул приведения и запомнить их.
Мнемонические правила формул приведения
Мнемоника – это совокупность правил, приемов и подсказок, облегчающих запоминание информации, путем создания устойчивых ассоциаций. Для подобных «правил» используют яркие и необычные образы. Всем известны «пифагоровы штаны» и стишок глаголов на спряжение:
Оба примера являются яркой иллюстрацией мнемонических правил.
Чтобы быстро и безошибочно восстановить любую формулу приведения необходимо выполнить три пункта:
- Представить исходный аргумент в требуемом виде: (π±α), (2π±α), (π/2±α) или (3π/2±α).
- Определить какой знак имеет исходная функция в требуемой четверти.
- Заменить при необходимости функцию на кофункцию: в случаях (π±α) и (2π±α) функция не меняется,а при (π/2±α) или (3π/2±α) происходит смена тригонометрического выражения при аргументе.
Разберем конкретный пример подобных преобразований.
Задача 1.
Привести tg 750° к тригонометрическим функциям острого угла. Решение: Аргумент тангенса можно записать разными способами.
- tg 750° = tg (2*360° + 30°) = tg (2π + 30°+2π);
- tg 750° = tg (90° — 60° + 2*360°)= tg (π/2-60° +4π).
Лишними 2π и 4π в обоих случаях можно пренебречь, так как каких-либо серьезных изменений они не вносят. Если поставить карандаш в точку пересечения луча, выходящего из центра окружности под углом к оси ОХ в 2π−60° или (2π+30°), и дуги окружности, а затем совершить 1 или 2 оборота в 360°, карандаш все равно вернется в исходную точку.
Оба угла 30° и 60° расположены в первой четверти круга, где знак для тангенса — «+». Следовательно, и знак перед новыми функциями будет положительным. Для угла (2π + 30°) функция останется неизменной, а для (π/2-60°) — сменится на кофункцию:
- tg 750° = tg (2π + 30° )=tg 30°
- tg 750° = tg (π/2-60°)=ctg 60°
Обратимся к тождествам и проверим результат.
Лошадиное правило
Такое необычное название получил один способ, как запомнить смену функции на кофункцию. По легенде в давние времена жил на свете очень рассеянный математик. И был у него один верный и умный друг – лошадь. Занимаясь тригонометрией математик спрашивал лошадь менять ему функцию или нет, если животное кивало головой происходила замена, нет – все оставалось «на месте».
Разобраться в истории довольно просто, если представить ось координат для построения тригонометрической окружности. Если аргумент функции содержит , то есть лошадь кивает «да», происходит смена на кофункцию. Если же перед острым углом стоит π или 2π, умный конь кивает вдоль оси OX – «нет», функция остается прежней.
Единственное что необходимо заучить наизусть – это знаки по четвертям для sin, cos, tg и ctg. Существует таблица перехода знаков, но для легкого запоминания она бесполезна.
Тригонометрический круг со знаками для каждой функции гораздо удобнее.
Правило ладони
Еще одно очень удобное мнемоническое правило, разработано для запоминания значений арксинусов и арккосинусов острых углов. Благодаря этому методу для расчета «арков» на ЕГЭ школьнику понадобится только собственная ладонь.
Если представить, что через большой палец и мизинец проходят оси координат OY и OX, тогда пальцы представляют собой лучи под углами 0, 30°, 45°, 60° и 90°.
Теперь, чтобы узнать значение arcsin α необходимо подставить вместо n «номер пальца»: 0, 1, 2, 3 или 4. Для arcos α нумеровать необходимо в обратном порядке от 4 до 0.
Источник: https://karate-ege.ru/matematika/trigonometricheskie-formuly-privedeniya.html
Формулы приведения. Как быстро получить любую формулу приведения
Формулы приведения разработаны для углов, представленных в одном из следующих видов: (pi2+a), (pi2-a), (π+a), (π-a), (3pi2}+a), (3pi2-a), (2π+a) и (2π-a).
Аналогично их можно использовать для углов представленных в градусах: (90^°+a), (90^°-a), (180^°+a), (180^°-a), (270^°+a), (270^°-a), (180^°+a), (180^°-a). К счастью, учить наизусть формулы привидения вам не придется, потому что есть легкий и надежный способ вывести нужную за пару секунд.
Для начала обратите внимание, что все формулы имеют похожий вид:
Здесь нужно пояснить термин «кофункция» — это та же самая функция с добавлением или убиранием приставки «ко-». То есть, для синуса кофункцией будет косинус, а для косинуса – синус. С тангенсом и котангенсом – аналогично.
Таким образом, например, синус при применении этих формул никогда не поменяется на тангенс или котангенс, он либо останется синусом, либо превратиться в косинус. А котангенс никогда не станет синусом или косинусом, он либо останется котангенсом, либо станет тангенсом. И так далее.
Едем дальше. Так как исходная функция и ее аргумент нам обычно даны, то весь вывод нужной формулы сводится к двум вопросам:
- как определить знак перед конечной функцией (плюс или минус)?
- как определить меняется ли функция на кофункцию или нет?
Какой знак был у исходной функции в исходной четверти, такой знак и нужно ставить перед конечной функцией
Например, выводим формулу приведения для (cos(3pi2-a) =….) С исходной функцией понятно – косинус, а исходная четверть?
Для того, чтобы ответить на этот вопрос, представим, что (a) – угол от (0) до (pi2), т.е. лежит в пределах (0°…90^°) (хотя это может быть не так, но для определения знака данная условность необходима).
В какой четверти тригонометрической окружности при таком условии будет находиться точка, обозначающая угол (3pi2}-a)? Чтобы ответить на вопрос, надо от точки, обозначающей (3pi2}), повернуть в отрицательную сторону на угол (a).
В какой четверти мы окажемся? В третьей. А какой же знак имеет косинус в третьей четверти? Минус. Поэтому перед итоговой функцией будет стоят минус: (cos(3pi2-a)=-…)
Здесь правило еще проще:
- если «точка привязки» (pi2) ((90^°)) или (3pi2) ((270^°))– функция меняется на кофункцию;
- если «точка привязки» (π) ((180^°)) или (2π) ((360^°)) – функция остается той же
То есть, при аргументах исходной функции (pi2+a), (pi2}-a), (3pi2+a) или (pi2-a), мы должны поменять функцию, а при аргументах (π+a), (π-a), (2π+a) или (2π-a) — нет. Для того, чтоб это легче запомнить, вы можете воспользоваться мнемоническим правилом, которое в школе называют «лошадиным правилом».
Точки, обозначающие (pi2) ((90^°)) и (3pi2) ((270^°)), расположены вертикально, и если вы переводите взгляд с одной на другую и назад, вы киваете головой, как бы говоря «да».
Точки же, обозначающие (π) ((180^°)) и (2π) ((360^°)), расположены горизонтально, и если вы переводите взгляд между ними, вы мотаете головой, как бы говоря «нет».
Эти «да» и «нет» — и есть ответ на вопрос: «меняется ли функция?». Таким образом, согласно правилу, в нашем примере выше (cos(3π2-a)=…) косинус будет меняться на синус. В конечном итоге получаем, (cos(3π2-a)=-sin) (a). Это и есть верная формула приведения.
Зачем нужны формулы привидения? Ну, например, они позволяют упрощать выражения или находить значения некоторых тригонометрических выражений без использования калькулятора.
Пример. (Задание из ЕГЭ). Найдите значение выражения (18 cos 41^°} }{sin {{49}^°}})
Решение:
| (18 cos {{41}^°} }{sin{{49}^°}}=) | Углы ({41}^°) и ({49}^°) нестандартные, поэтому «в лоб» без калькулятора вычислить непросто. Однако использовав формулы привидения, мы легко найдем правильный ответ. Прежде всего, обратите внимание на одну важный момент: (49^°=90^°-41^°). Поэтому мы можем заменить на (49^°) на (90^°-41^°). |
| (18 cos {41^° }}{sin {({90}^°-{41}^°)}}=) | Теперь применим к синусу формулу приведения:
(sin{(90^°-41^°)}=cos 41^° ) |
| (18 cos {41^° }}{cos {{41}^°}}=) | В числителе и знаменателе получились одинаковые косинусы. Сокращаем их. |
| (= 18) | Записываем ответ |
Ответ: (18)
Пример. Найдите значение выражения (3 sin(pi-a)}-cos(pi2+a) }{cos {(3pi}{2}-a)}})
Решение:
| (3 sin{(pi-a)}-cos(pi2}+a) }{cos {(3pi}{2}-a)}} | Рассмотрим первое слагаемое числителя: (sin(π-a)). Воспользуемся формулами приведения, выведя ее самостоятельно:
Таким образом, (sin(π-a)=sina) |
| (3 sin{a}-cos(pi2+a) }{cos {(frac{3pi}{2}-a)}} | Второе слагаемое числителя: (cos{(π2} + a)}):
Таким образом, (cos{π2} + a)}=-sina) |
| (3 sin{a}-(-sin{a}) }{cos {(3pi}{2}-a)}}=) | Теперь знаменатель: (cos(3π2} — a)). Его мы разобрали выше, он равен минус синусу. (cos({3π2} — a)=-sin{a}) |
| ({3 sin{a}-(-sin{a}) }{-sin {a}}=) | Раскрываем скобки и приводим подобные слагаемые. |
| ({3 sin{a}+sin{a}}{-sin {a}}={4sin{a}}{-sin{a}}) | Сократив на (sin{a}), получаем ответ. |
Ответ: (-4)
Источник: http://cos-cos.ru/math/239/
Формулы приведения. Быстро и легко!
Тригонометрия.Формулы приведения.
Формулы приведения не нужно учить их нужно понять. Понять алгоритм их вывода.
Возьмем единичную окружность и расставим все градусные меры (0°; 90°; 180°; 270°; 360°) на ней.
Разберем в каждой четверти функции sin(a) и cos(a). Запомним, что функцию sin(a) смотрим по оси Y, а функцию cos(a) по оси X.
В первой четверти видно, что функция sin(a)>0, потому что ось Y положительна в этой четверти. И функция cos(a)>0, потому что ось X положительна в этой четверти.
Первую четверть можно описать через градусную меру, как (90-α) или (360+α).
Во второй четверти видно, что функция sin(a)>0, потому что ось Y положительна в этой четверти.
А функция cos(a)
В четвертой четверти видно, что функция sin(a)0, потому что ось X положительна в этой четверти.
Четвертую четверть можно описать через градусную меру, как (270+α) или (360-α).
Теперь рассмотрим сами формулы приведения.
Запомним простой алгоритм:
- Четверть. (Всегда смотрите в какой вы четверти находитесь).
- Знак. (Относительно четверти смотрите положительны или отрицательный функции косинуса или синуса).
- Если у вас есть в скобочках (90° или π/2) и (270° или 3π/2), то функция меняется.
И так начнем разбирать по четвертям данный алгоритм.
Выясни чему будет равно выражение cos(90-α)
Рассуждаем по алгоритму:
- Четверть первая.
- В первой четверти знак у функции косинуса положительный.
- В скобочках есть (90° или π/2), то функция меняется с косинуса на синус.
Будет cos(90-α) = sin(α).
Источник: https://TutoMath.ru/uroki/formuly-privedeniya.html
Формулы приведения
Из прошлых тем нам известно, что тригонометрические функции являются периодичными функциями, именно поэтому при рассмотрении любых углов, их можно свести ко всем углам, находящимся на единичной окружности. Более того, любой угол можно свести к острому углу. Чтобы это сделать, необходимо знать формулы приведения.
Итак, давайте возьмем произвольный угол, который находится, например, в пределе от π до 3π/2. Данный угол можно записать следующим образом: (π + α). В данном случае α — острый угол. А теперь давайте определим, в какой четверти мы оказались.
От π до 3π/2 — это третья четверть. В данной четверти и синус, и косинус имеет отрицательное значение. Для нахождения косинуса или синуса данного угла имеем право: cos(π + α) = -cos α. Полученное выражение называется одной из формул приведения. Данные уравнения можно получить для любой функции, в зависимости от знака данной четверти.
Формулы приведения
Чтобы переходить от больших углов к острым совершенно не обязательно знать огромное множество формул приведений, достаточно понимать, как они были получены.
Для того, чтобы лучше понять, давайте рассмотри несколько примеров:
Итак, рассмотрим первый пример, описанный выше. Чтобы воспользоваться формулами приведения и прийти к острым углам, следует выделить π или 2 π. Чтобы не изменить величину аргумента, а также выделить π, необходимо от 180 отнять 30. Это означает, что в единичной окружности необходимо переместиться в точку π.
Далее мы видим знак минус — это означает, что для того, чтобы отложить данный угол, следует двигаться по часовой стрелке, то есть от π отложить угол 30 градусов, или π/6. Мы оказались во второй четверти. Как мы уже знаем, величины углов во второй четверти являются положительными, так как здесь ордината принимает положительные значения.
Источник: https://cknow.ru/knowbase/510-125-formuly-privedeniya.html
Формулы приведения для тригонометрических функций
Формулы приведения – это формулы, позволяющие упростить сложные выражения тригонометрической функции.
Выражения типа π + t, 3π/2 – t, π/2 + t и т.п. можно упростить настолько, что они будут состоять лишь из одного аргумента t. В предыдущих разделах мы имели дело с несколькими такими упрощениями – например, sin (π + t) = –sin t.
Формул приведения очень много. Запомнить их трудно – но самое главное, в этом нет необходимости. Достаточно запомнить одно-единственное правило – и вы легко сможете самостоятельно выводить формулы и упрощать выражения.
Правило приведения:
| Для выражений π + t, π – t, 2π + t, 2π – t | Для выражений π/2 + t, π/2 – t, 3π/2 + t, 3π/2 – t |
|
|
Обратите внимание: в левом и правом столбцах различаются только первые пункты правила. Вторые пункты абсолютно идентичны.
- Формулы приведения.
| cos (π + t) = –cos t | sin (π + t) = –sin t | tg (π + t) = tg t | ctg (π + t) = ctg t |
| cos (π – t) = –cos t | sin (π – t) = sin t | tg (π – t) = –tg t | ctg (π – t) = –ctg t |
| cos (2π + t) = cos t | sin (2π + t) = sin t | tg (2π + t) = tg t | ctg (2π + t) = ctg t |
| cos (2π – t) = cos t | sin (2π – t) = –sin t | tg (2π – t) = –tg t | ctg (2π – t) = –ctg t |
| cos (π/2 + t) = –sin t | sin (π/2 + t) = cos t | tg (π/2 + t) = –ctg t | ctg (π/2 + t) = –tg t |
| cos (π/2 – t) = sin t | sin (π/2 – t) = cos t | tg (π/2 – t) = ctg t | ctg (π/2 – t) = tg t |
| cos (3π/2 + t) = sin t | sin (3π/2 + t) = –cos t | tg (3π/2 + t) = –ctg t | ctg (3π/2 + t) = –tg t |
| cos (3π/2 – t) = –sin t | sin (3π/2 – t) = –cos t | tg (3π/2 – t) = ctg t | ctg (3π/2 – t) = tg t |
Примечание: Часто встречаются более сложные выражения, но они не меняют правила. Например, если cos (2π + t) = cos t, то cos (2π + 3t) = cos 3t.
Источник: http://raal100.narod.ru/index/0-300
Загрузка...
