Какие существуют формулы логарифмов?

Сегодня мы поговорим о формулах логарифмов и дадим показательные примеры решения. Ранее мы уже познакомились с понятием логарифма. А также рассмотрели основные свойства и примеры решения.

Формулы логарифмов сами по себе подразумевают шаблоны решения согласно основным свойствам логарифмов. Прежде применять формулы логарифмов для решения напомним для вас, сначала все свойства.

Формулы логарифмов. Логарифмы примеры решения

Формулы и свойства логарифмов

Формулы и свойства логарифмов
Формулы и свойства логарифмов
Формулы и свойства логарифмов
Формулы и свойства логарифмов
Формулы и свойства логарифмов

Теперь на основе этих формул(свойств), покажем примеры решения логарифмов.

Примеры решения логарифмов на основании формул

Логарифм положительного числа b по основанию a (обозначается logab) — это показатель степени, в которую надо возвести a, чтобы получить b, при этом b > 0, a > 0, а 1.

Согласно определения logab = x, что равносильно ax = b, поэтому logaax = x.

Логарифмы, примеры:

log28 = 3, т.к. 23 = 8

log749 = 2, т.к. 72 = 49

log51/5 = -1, т.к. 5-1 = 1/5

Десятичный логарифм — это обычный логарифм, в основании которого находится 10. Обозначается как lg.

lg100 = 2

log10100 = 2, т.к. 102 = 100

Натуральный логарифм — также обычный логарифм логарифм, но уже с основанием е (е = 2,71828… — иррациональное число). Обозначается как ln.

Формулы или свойства логарифмов желательно запомнить, потому что они понадобятся нам в дальнейшем при решении логарифмов, логарифмических уравнений и неравенств. Давайте еще раз отработаем каждую формулу на примерах.

Основное логарифмическое тождество
a logab = b
Пример.
82log83 = (82log83)2 = 32 = 9

Логарифм произведения равен сумме логарифмов loga (bc) = logab + logac
Пример.
log38,1 + log310 = log3 (8,1*10) = log381 = 4

Логарифм частного равен разности логарифмов
loga (b/c) = logab — logac
Пример.
9 log550/9 log52 = 9 log550- log52 = 9 log525 = 9 2 = 81

Свойства степени логарифмируемого числа и основания логарифма

Показатель степени логарифмируемого числа logab m = mlogab

Показатель степени основания логарифма loganb =1/n*logab

loganb m = m/n*logab,

если m = n, получим loganb n = logab

Пример.

log49 = log223 2 = log23

Переход к новому основанию
logab = logcb/logca,

если c = b, получим logbb = 1

тогда logab = 1/logba

Пример.

log0,83*log31,25 = log0,83*log0,81,25/log0,83 = log0,81,25 = log4/55/4 = -1

Как видите, формулы логарифмов не так сложны как кажутся. Теперь рассмотрев примеры решения логарифмов мы можем переходить к логарифмическим уравнениям.

Источник: https://reshit.ru/formuly-logarifmov-logarifmy-primery-resheniya

Логарифм: что это? Все формулы. Простейшие уравнения и неравенства

Формулы и свойства логарифмов

Сейчас речь пойдет о трех страшных буквах: l o g.Существовать в нашем бытии они просто так не могут. Обязательно должен быть какой-нибудь индекс — число снизу (основание логарифма) и число после букв (аргумент логарифма).

Прежде, чем мы перейдем к тому, что такое логарифм, решим парочку подводящих примеров.

Чтобы справиться с этим примером, мы проговариваем в голове: какое число нужно дважды (т.к. корень квадратный) умножить само на себя, чтобы получить 81.

Формулы и свойства логарифмов

А этот пример можно решить по алгоритму (решения показательных уравнений), а можно так же провести разговор с самим собой (главное не вслух, я считаю это нормально, но кого-то вы можете напугать разговором с самим собой): сколько раз нужно число 3 умножить само на себя, чтобы получить 27. Постепенным перемножением мы дойдем до ответа.

Тогда, если дело касается логарифма:

можно сказать так: в какую степень нужно возвести 3 (число снизу — основание логарифма), чтобы получить 27 (число слева — аргумент логарифма). Не напоминает выше стоящий пример?

Формулы и свойства логарифмов

На самом деле в этом и заключается основная формула (определение логарифма):

Формулы и свойства логарифмов

Логарифм говорит нам (кому-то кричит): логарифм числа «b» по основанию «a» равняется числу «c». Тогда без логарифма это можно сформулировать так: чтобы получить число «b», требуется число «a» возвести в степень «c». Логарифм — это действие, обратное возведению в степень.

У отца log есть два родных сына: ln и lg. Так же, как сыновья отличаются возрастом (мы говорим о максимальной точности), так и эти логарифмы отличаются основанием (числовым индексом снизу).

Формулы и свойства логарифмов

Данные логарифмы придумали для упрощения записи. На самом деле в прикладной математики именно логарифмы по такому основанию встречаются чаще всех остальных. А мы все в глубине души народ ленивый, так что почему бы себе жизнь не упростить?

Что нужно запомнить: ln — это обычный логарифм только по основанию e ( e — это число Эйлера, e = 2,7182…, мой номер телефона, кстати, — это последние 11 цифр числа Эйлера, так что буду ждать звонка).

Читайте также:  Как доказать теорему Пифагора?

А lg — это обычный логарифм по основанию 10 (10ая система — это система счисления, в которой мы живем, столько пальцев на руках у среднего человека. В общем 10 — это как 9, только на 1 больше).

Как мы не можем существовать без еды, воды, интернета…  Так и логарифм не представляет свое существование без ОДЗ.

Всегда, когда существует логарифм, должно быть:

«Почему это так?» — это первый вопрос, который я предоставляю тебе. Советую начать с того, что логарифм — это обратное действие от возведения в степень.

А теперь  разберем теорию на практике:

В какую степень нужно возвести два (число в основании), чтобы получить шестнадцать (аргумент логарифма).

Формулы и свойства логарифмов

Два нужно четыре раза умножить само на себя, чтобы получить 16.

Ответ: 4.

Источник: https://ik-study.ru/ege_math/logharifmy

Логарифмы: правила, основные свойства и формулы :

Логарифмы и правила действий с ними достаточно емкие и простые. Следовательно, разобраться в данной теме вам не составит труда. После того как вы узнаете все правила натуральных логарифмов, любая задача решится самостоятельно.

Первое знакомство с этой темой может показаться скучным и бессмысленным, но именно при помощи логарифмов решились многие проблемы математиков XVI века. «О чем это?» — подумали вы.

Прочтите статью до конца и узнаете, что этот раздел «царицы наук» может быть интересен не только математикам, ученым точных наук, но и простым ученикам средних школ.

Определение логарифма

Формулы и свойства логарифмов

Начнем с определения логарифма. Как гласят многие учебники: логарифмом числа b по основанию a (logab) является некое число с, для которого выполняется такое равенство: b=ac.

То есть, говоря простыми словами, логарифм — определенная степень, в которую возводим основание, чтобы получить данное число. Но важно помнить, что логарифм вида logab имеет смысл только при: a>0; a — число, отличное от 1; b>0, следовательно, делаем вывод, что логарифм можно найти только у положительных чисел.

Классификация логарифмов по основанию

Логарифмы могут быть с любым положительным числом в основании. Но также существует два вида: натуральный и десятичный логарифмы:

  • Натуральный логарифм — логарифм с основанием е (е — число Эйлера, численно приблизительно равняется 2,7, иррациональное число, которое ввели для показательной функции y = ex), обозначается как ln a = logea;
  • Десятичный логарифм — логарифм с основанием 10, то есть log10a = lg a.

Основные правила логарифмов

Для начала нужно познакомиться с основным логарифмическим тождеством: alogab=b, далее следуют два таких основных правила:

  • loga1 = 0 — так как любое число в нулевой степени равно 1;
  • logaa = 1.

Благодаря открытию логарифма для нас не составит труда решить абсолютно любое показательно уравнение, ответ которого нельзя выразить натуральным числом, а только иррациональным. Например: 5х = 9, х = log59 (так как натурального х для данного уравнения не существует).

Действия с логарифмами:

Формулы и свойства логарифмов

  • loga(x · y) = logax+ logay — чтобы найти логарифм произведения, нужно сложить логарифмы сомножителей. Обратите внимание на то, что основания логарифмов одинаковы. Если записать это в обратном порядке, то получим правило сложения логарифмов.
  • loga xy = logax — logay — чтобы найти логарифм частного, нужно найти разность логарифмов делимого и делителя. Обратите внимание: основания у логарифмов одинаковы. При записи в обратном порядке получаем правило вычитания логарифмов.
  • logakxp = (p/k)*logax — таким образом, если в аргументе и основании логарифма стоят степени, то их можно выносить за знак логарифма.
  • logax = logac xc — частный случай предыдущего правила, когда показатели степеней равны, их можно сократить.
  • logax = (logbx)(logba) — так называемый модуль перехода, процедура приведения логарифма к другому основанию.
  • logax = 1/logxa — частный случай перехода, смена мест основания и данного числа. Все выражение, образно говоря, переворачивается, и логарифм с новым основанием оказывается в знаменателе.

История возникновения логарифмов

Формулы и свойства логарифмов

В XVI веке возникла необходимость проведения многих приближенных вычислений для решения практических задач, главным образом, в астрономии (например, определение положения судна по Солнцу или звездам).

Эта потребность быстро росла и значительную трудность создавало умножение и деление многозначных чисел. И ученый-математик Непер при тригонометрических расчетах решил заменить трудоемкое умножение на обыкновенное сложение, сопоставив для этого некоторые прогрессии.

Читайте также:  Какие возможны действия со степенями?

Тогда деление, аналогично, заменяется на процедуру попроще и надежнее — вычитание, а дабы извлечь корень n-ой степени, нужно разделить логарифм подкоренного выражения на n. Решение такой нелегкой задачи в математике явно отображало цели Непера в науке.

Вот как он писал об этом в начале своей книги «Рабдология»:

Я всегда старался, насколько позволяли мои силы и способности, освободить людей от трудности и скуки вычислений, докучливость которых обыкновенно отпугивает очень многих от изучения математики.

Название логарифма предложил сам Непер, он был получен путем совмещения греческих слов, которые в сочетании означали “число отношений”.

Основание логарифма ввел Спейдел. Его заимствовал Эйлер из теории о степенях и перенес в теорию логарифмов. Понятие логарифмирования стало известным благодаря Коппе в XIX веке. А использование натуральных и десятичных логарифмов, а также их обозначения появились благодаря Коши.

В 1614 году Джон Непер издал на латыни сочинение «Описание удивительной таблица логарифмов». Там было изложено краткое описание логарифмов, правил и их свойств. Так термин «логарифм» утвердился в точных науках.

Операцию логарифмирования и первое упоминание о ней появилось благодаря Валлису и Иоганну Бернулли, а окончательно установлена она была Эйлером в XVIII веке.

Формулы и свойства логарифмов

Именно заслуга Эйлера в распространении логарифмической функции вида y = logax на комплексную область. В первой половине XVIII века вышла его книга «Введение в анализ бесконечных», где были современные определения показательной и логарифмической функций.

Логарифмическая функция

Функция вида y = logах (имеет смысл, только если: а > 0, а ≠ 1).

Логарифмическая функция определяется множеством всех положительных чисел, так как запись logах существует только при условии — х > 0;.

Данная функция может принимать абсолютно все значения из множества R (действительных чисел). Так как у всякого действительного числа b есть положительное x, чтобы выполнялось равенство logaх = b, то есть, это уравнение имеет корень — х = аb (следует из того, что logaab= b).

Функция возрастает на промежутке a>0, а убывает на промежутке 01.

Следует помнить, что любые графики логарифмической функции у = logах имеют одну стационарную точку (1;0), так как logа 1 = 0. Это хорошо видно на иллюстрации графика ниже.

Формулы и свойства логарифмов

Как видим на изображениях, функция не имеет четности или нечетности, не имеет наибольших или наименьших значений, не ограничена сверху или снизу.

Логарифмическая функция y = logаx и показательная функция y = aх, где (а>0, а≠1), взаимно обратные. Это можно видеть на изображении их графиков.

Решение задач с логарифмами

Обычно решение задачи, содержащей логарифмы, основано на преобразовании их в стандартный вид или же направлено на упрощение выражений под знаком логарифма. Или же стоит переводить обычные натуральные числа в логарифмы с нужным основанием, проводить дальнейшие операции по упрощению выражения.

Есть некие тонкости, которые не стоит забывать:

  • При решении неравенств, когда обе части стоят под логарифмами по правилу с одним основанием, не спешите «отбрасывать» знак логарифма. Помните о промежутках монотонности логарифмической функции. Так как, если основание больше 1 (случай, когда функция возрастает) — знак неравенства останется без изменений, но когда основание больше 0 и меньше 1 (случай, когда функция убывает) — знак неравенства изменится на противоположный;
  • Не забывайте определения логарифма: logах = b, а>0, а≠1 и х>0, чтобы не потерять корней из-за неучтенной области допустимых значений. ОДЗ (область допустимых значений) существует практически для всех сложных функций.

При решении логарифмических уравнений рекомендуется пользоваться равносильными преобразованиями. Также, необходимо быть внимательным и учитывать возможные преобразования, которые способны привести к потере некоторых корней.

Это банальные, но масштабные ошибки, с которыми столкнулись многие на пути поиска верного ответа для задания. Правил решения логарифмов не так уж и много, поэтому эта тема проще, чем другие и последующие, но в ней стоит хорошо разобраться.

Вывод

Формулы и свойства логарифмов

Данная тема с первого взгляда может показаться сложной и громоздкой, но, исследуя ее глубже и глубже, начинаешь понимать, что тема просто заканчивается, а сложностей так ничего и не вызвало. Мы рассмотрели все свойства, правила и даже ошибки, касающиеся темы логарифмов. Успехов в обучении!

Читайте также:  Какие признаки делимости чисел?

Источник: https://www.syl.ru/article/407401/logarifmyi-pravila-osnovnyie-svoystva-i-formulyi

Свойства логарифмов

Логарифмом положительного числа b по основанию a (a>0, a не равно 1) называют такое число с, что ac = b: log a b=c⇔ a c =b (a>0,a≠1,b>0)

Обратите внимание: логарифм от неположительного числа не определен. Кроме того, в основании логарифма должно быть положительное число, не равное 1. Например, если мы возведем -2 в квадрат, получим число 4, но это не означает, что логарифм по основанию -2 от 4 равен 2.

Основное логарифмическое тождество

a log a b =b (a>0,a≠1) (2)

Важно, что области определения правой и левой частей этой формулы отличаются. Левая часть определена только при b>0, a>0 и a ≠ 1. Правая часть определена при любом b, а от a вообще не зависит. Таким образом, применение основного логарифмического «тождества» при решении уравнений и неравенств может привести к изменению ОДЗ.

Два очевидных следствия определения логарифма

log a a=1 (a>0,a≠1) (3) log a 1=0 (a>0,a≠1) (4)

Действительно, при возведении числа a в первую степень мы получим то же самое число, а при возведении в нулевую степень — единицу.

Логарифм произведения и логарифм частного

log a (bc)= log a b+ log a c (a>0,a≠1,b>0,c>0) (5)

log a b c = log a b− log a c (a>0,a≠1,b>0,c>0) (6)

Хотелось бы предостеречь школьников от бездумного применения данных формул при решении логарифмических уравнений и неравенств. При их использовании «слева направо» происходит сужение ОДЗ, а при переходе от суммы или разности логарифмов к логарифму произведения или частного — расширение ОДЗ.

Действительно, выражение log a (f(x)g(x)) определено в двух случаях: когда обе функции строго положительны либо когда f(x) и g(x) обе меньше нуля.

Преобразуя данное выражение в сумму log a f(x)+ log a g(x) , мы вынуждены ограничиваться только случаем, когда f(x)>0 и g(x)>0. Налицо сужение области допустимых значений, а это категорически недопустимо, т. к. может привести к потере решений. Аналогичная проблема существует и для формулы (6).

Степень можно выносить за знак логарифма

log a b p =p log a b (a>0,a≠1,b>0) (7)

И вновь хотелось бы призвать к аккуратности. Рассмотрим следующий пример:

log a (f (x) 2 =2 log a f(x)

Левая часть равенства определена, очевидно, при всех значениях f(х), кроме нуля. Правая часть — только при f(x)>0! Вынося степень из логарифма, мы вновь сужаем ОДЗ. Обратная процедура приводит к расширению области допустимых значений. Все эти замечания относятся не только к степени 2, но и к любой четной степени.

Формула перехода к новому основанию

log a b= log c b log c a (a>0,a≠1,b>0,c>0,c≠1) (8)

Тот редкий случай, когда ОДЗ не изменяется при преобразовании. Если вы разумно выбрали основание с (положительное и не равное 1), формула перехода к новому основанию является абсолютно безопасной.

Если в качестве нового основания с выбрать число b, получим важный частный случай формулы (8):

log a b= 1 log b a (a>0,a≠1,b>0,b≠1) (9)

Десятичным логарифмом числа x называется логарифм по основанию 10. Десятичные логарифмы используются довольно часто, поэтому для них введено специальное обозначение: log10x = lg x. Все перечисленные выше формулы сохраняют актуальность для десятичных логарифмов. Например, lg(xy)=lgx+lgy (x>0,y>0) .

Натуральным логарифмом числа x (обозначение lnx) называется логарифм х по основанию e. Число e — иррациональное, приближенно равно 2,71. Например, ln e = 1. Пользуясь формулой (8), можно любой логарифм свести к десятичным или натуральным логарифмам: log a b= lgb lga = lnb lna (a>0,a≠1,b>0)

Несколько простых примеров с логарифмами

Пример 1. Вычислите: lg2 + lg50. Решение. lg2 + lg50 = lg100 = 2. Мы воспользовались формулой суммы логарифмов (5) и определением десятичного логарифма.

Пример 2. Вычислите: lg125/lg5. Решение. lg125/lg5 = log5125 = 3. Мы использовали формулу перехода к новому основанию (8).

a log a b =b (a>0,a≠1)
log a a=1 (a>0,a≠1)
log a 1=0 (a>0,a≠1)
log a (bc)= log a b+ log a c (a>0,a≠1,b>0,c>0)
log a b c = log a b− log a c (a>0,a≠1,b>0,c>0)
log a b p =p log a b (a>0,a≠1,b>0)
log a b= log c b log c a (a>0,a≠1,b>0,c>0,c≠1)
log a b= 1 log b a (a>0,a≠1,b>0,b≠1)

Источник: http://www.repetitor2000.ru/svoistva_logarifmov_01.html

Ссылка на основную публикацию
Adblock
detector