Какие свойства корней и степеней?

Приведены основные свойства степенной функции, включая формулы и свойства корней. Представлены производная, интеграл, разложение в степенной ряд и представление посредством комплексных чисел степенной функции.

Степенная функция с показателем степени p – это функция  f(x) = x p, значение которой в точке x равно значению показательной функции с основанием x в точке p. Кроме этого,  f(0) = 0 p = 0  при  p > 0.

Степенная функция и корни — определение, свойства и формулы

Для натуральных значений показателя , степенная функция есть произведение n чисел, равных x: . Она определена для всех действительных .

Для положительных рациональных значений показателя , степенная функция есть произведение n корней степени m из числа x: . Для нечетных m, она определена для всех действительных x. Для четных m, степенная функция определена для неотрицательных .

Для отрицательных , степенная функция определяется по формуле: . Поэтому она не определена в точке .

Для иррациональных значений показателя p, степенная функция определяется по формуле: , где a – произвольное положительное число, не равное единице:  . При , она определена для . При , степенная функция определена для .

Непрерывность. Степенная функция непрерывна на своей области определения.

Свойства и формулы степенной функции при x ≥ 0

Здесь мы рассмотрим свойства степенной функции при неотрицательных значениях аргумента x.

Как указано выше, при некоторых значениях показателя p, степенная функция определена и для отрицательных значений x. В этом случае, ее свойства можно получить из свойств при , используя четность или нечетность.

Степенная функция,   y = x p, с показателем p имеет следующие свойства: (1.1)   определена и непрерывна на множестве при , при ; (1.2)   имеет множество значений при , при ; (1.3)   строго возрастает при , строго убывает при ; (1.4)     при ;   при ; (1.5)   ; (1.5*)   ; (1.6)   ; (1.7)   ; (1.7*)   ; (1.8)   ; (1.9)   .

Доказательство свойств приводится на странице «Степенная функция (доказательство непрерывности и свойств)»

Корни – определение, формулы, свойства

Корень из числа  x  степени  n – это число   , возведение которого в степень  n  дает  x : . Здесь n = 2, 3, 4, … – натуральное число, большее единицы.

Также можно сказать, что корень    из числа  x  степени  n – это корень (то есть решение) уравнения . Заметим, что функция является обратной к функции .

Квадратный корень из числа  x  – это корень степени 2:  . Кубический корень из числа  x  – это корень степени 3:  .

Четная степень

Для четных степеней  n = 2m, корень определен при x ≥ 0. Здесь важен порядок, в котором выполняются операции – то есть сначала производится возведение в квадрат, в результате чего получается неотрицательное число, а затем из него извлекается корень (из неотрицательного числа можно извлекать квадратный корень). Если бы мы изменили порядок: , то при отрицательных x корень был бы не определен, а вместе с ним не определено и все выражение.

Графики степенной функции

Графики степенной функции y = x p при различных значениях показателя p.

Здесь приводятся графики функции при неотрицательных значениях аргумента x. Графики степенной функции, определенной при отрицательных значениях x, приводятся на странице «Степенная функция, ее свойства и графики»

Выражения через комплексные числа

Рассмотрим функцию комплексного переменного z: f(z) = z t. Выразим комплексную переменную z через модуль r и аргумент φ   ( r = |z| ): z = r e i φ. Комплексное число t представим в виде действительной и мнимой частей: t = p + i q. Имеем: Далее учтем, что аргумент φ определен не однозначно: ,

Рассмотрим случай, когда q = 0, то есть показатель степени — действительное число, t = p.   Тогда если p — целое, то и kp — целое. Тогда, в силу периодичности тригонометрических функций: . То есть показательная функция при целом показателе степени, для заданного z, имеет только одно значение и поэтому является однозначной.

Если p — иррациональное, то произведения kp ни при каком k не дают целого числа. Поскольку k пробегает бесконечный ряд значений k = 0, ±1, ±2, ±3, …, то функция z p имеет бесконечно много значений. Всякий раз, когда аргумент z получает приращение 2 π (один оборот), мы переходим на новую ветвь функции.

Если p — рациональное, то его можно представить в виде: , где m, n — целые, не содержащие общих делителей. Тогда . Первые n величин, при k = k0 = 0, 1, 2, … n-1, дают n различных значений kp: .

Однако последующие величины дают значения, отличающиеся от предыдущих на целое число. Например, при k = k0 + n имеем: . Тригонометрические функции, аргументы которых различаются на величины, кратные 2π, имеют равные значения.

Поэтому при дальнейшем увеличении k мы получаем те же значения z p, что и для k = k0 = 0, 1, 2, … n-1.

В частности, корень степени n имеет n значений. В качестве примера рассмотрим корень n – й степени действительного положительного числа z = x. В этом случае φ0 = 0, z = r = |z| = x, . . Так, для квадратного корня, n = 2, . Для четных k, (– 1)k = 1. Для нечетных k, (– 1)k = – 1. То есть квадратный корень имеет два значения:   +   и   – .

Источник: https://1cov-edu.ru/mat_analiz/funktsii/stepennaya/

Свойства корней: формулировки, доказательства, примеры

Данная статья представляет собой совокупность детальной информации, которая касается темы свойства корней. Рассматривая тему, мы начнем со свойств , изучим все формулировки и приведем доказательства. Для закрепления темы мы рассмотрим свойства  n-ой степени.

Свойства корней

Мы поговорим о свойствах.

1. Свойство умноженных чисел a и b, которое представляется как равенствоa·b=a·b. Его можно представить в виде множителей, положительных или равных нулю a1, a2, …, ak как a1· a2· …· ak=a1· a2· …· ak;
2. из частного a:b= a:b,  a≥0, b>0, он также может записываться в таком виде ab=ab;
3. Свойство из степени числа a с четным показателем a2·m=am при любом числе a, например, свойство из квадрата числа a2=a.

В любом из представленных уравнений можно поменять части до и после знака тире местами, например, равенство a·b=a·b трансформируется как a·b=a·b. Свойства для равенства часто используются для упрощения сложных уравнений.

Доказательство первых свойств основано на определении квадратного корня и свойствах степеней с натуральным показателем. Чтобы обосновать третье свойство, необходимо обратиться к определению модуля числа.

Первым делом, необходимо доказать свойства квадратного корня a·b=a·b. Согласно определению , необходимо рассмотреть, что a·b — число, положительное или равное нулю, которое будет равно a·b при возведениив квадрат.

Значение выражения a·b положительно или равно нулю как произведение неотрицательных чисел. Свойство степени умноженных чисел позволяет представить равенство в виде (a·b)2=a2·b2.

По определению квадратного корня a2=a и b2=b, то a·b2=a2·b2=a·b.

Аналогичным способом можно доказать, что из произведения k множителей a1, a2, …, ak будет равняться произведению квадратных корней из этих множителей. Действительно, a1·a2· …· ak2=a12· a22· …· ak2=a1· a2· …· ak.

Из этого равенства следует, что a1· a2· …· ak=a1· a2· …· ak.

Рассмотрим несколько примеров для закрепления темы.

Пример 1

3·525=3·525, 4,2·1312=4,2·1312 и 2,7·4·1217·0,2(1)=2,7·4·1217·0,2(1).

Необходимо доказать свойство арифметического квадратного корня из частного: a:b=a:b, a≥0, b>0. Свойство позволяет записать равенство a:b2=a2:b2, а a2:b2=a:b, при этом a:b является положительным числом или равно нулю. Данное выражение и станет доказательством.

Например, 0:16=0:16, 80:5=80:5 и 30,121=30,121.

Рассмотрим свойство квадратного корня из квадрата числа. Его можно записать в виде равенствакак a2=aЧтобы доказать данное свойство, необходимо подробно рассмотреть несколько равенств при a≥0 и при a

Источник: https://Zaochnik.com/spravochnik/matematika/korni/svojstva-kornej/